KARTEZYEN KOORDİNAT SİSTEMİ
Tekrar merhaba Öğrenciler. İki sayı doğrusunun sıfır noktasında birbiri ile dik kesişmesi sonucu kartezyen koordinat sistemi oluşur.Yatay eksen x ekseni yani apsisler eksenidir.Dikey eksen y ekseni yani ordinatlar eksenidir.Koordinat eksenlerinin kesim noktasına başlangıç noktası veya orijin denir.
Kartezyen koordinat sistemindeki herhangi bir nokta sıralı ikililerle belirlenir ve her noktaya karşılık gelen bir sıralı ikili vardır.Bir sıralı ikilide birinci sayı x eksenindeki koordinatı, ikinci sayı y eksenindeki koordinatı gösterir.
Bir sıralı ikili (1,3) şeklinde yazılır. A(1,3) olarak isimlendirilir. A noktasının koordinatları 1’e 3’tür. (1=apsis) (3=ordinat)
(x,y) olan sıralı ikilide x’e apsis y’ye ordinat denir.
Kartezyen koordinat siteminde 4 bölge vardır.Sağ üstte 1. bölge, sol üstte 2. bölge, sol altta 3. bölge, sağ altta 4. bölge vardır.
Bu yazı 17 kere okundu...
Faktöriyel
Faktöryelin tanımı: 1’den n’ye kadar olan veya n’den geriye doğru 1’e kadar olan doğal sayıların çarpımı n! (n faktöriyel) olarak gösterilir.
n!=1.2.3.4……(n-1).n
n!=n.(n-1)…..3.2.1
0!=1
1!=1
2!=1.2=2
3!=1.2.3=6
4!=1.2.3.4=24
5!=1.2.3.4.5=120
Temel Sayma Kuralları
Toplama yoluyla sayma: Ayrık iki işlemden biri a yolla diğeri b yola yapılıyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri a+b yolla yapılır.
Örnek: 5 gömleği, 7 kravatı olan Fatih bunlardan 1 gömlek veya 1 kravatı kaç farklı şekilde seçebilir?
a+b=5+7=12 farklı şekilde seçilir.
Çarpma yoluyla sayma: Birinci olay a , bunu takip eden ikinci olay b değişik şekilde oluşuyorsa bu olayların tamamı a.b değişik şekilde seçilir.
Örnek: Furkan’ın 5 gömleği,4 kravatı ve 3 gömleği vardır.Bunlar arasından bir gömlek,bir kravat ve bir pantolonu kaç farklı şekilde seçebilir?
a.b.c=5.4.3=60 değişik şekilde seçim yapılır.
Permütasyon
n ve r birer doğal sayı ve (r) küçük eşittir (n) olmak üzere n’nin r’li permütasyonlarının yani dizilişlerinin sayısı P(n,r) şeklinde gösterilir.
Permütasyon; birbirinden farklı elemanların değişik şekillerde sıralanışını veya dizilişini gösterir.Permütasyon olan ifadelerde:
Kaç türlü sıralanabilir?
Kaç türlü yazılabilir?
Kaç değişik şekilde oturabilirler?
Kaç türlü dizilebilir yada poz verilebilir?
Anlamlı yada anlamsız kaç türlü kelime yazılabilir?
Halka ve yuvarlak masa etrafında kaç türlü oturulabilir?
n elemanlı bir kümenin r elemanlı permütasyonu:
P(n,r)=(n!) / (n-r)!
P(n,n)= n!
P(0,0)= 1
P(n,0)= 1
P(n,1)= n
Örnek: Bir yarışta 8 kişi yarışıyor.İlk üç sıralama nasıl gerçekleşir?
P(8,3)=(8!) / (8-3)!
P(8,3)=8! / 5! = 40320/120=336 değişik şekilde ilk üç sıralama olur.
Örnek: Bir odadaki 6 koltuğa 4 kişi kaç farklı şekilde oturur?
P(6,4)=(6!) / (6-4)!
P(6,4)=6! / 2! = 720/2=360 farklı şekilde oturur.
Yatay sıralama: n tane eleman yatay bir sıra boyunca n! farklı biçimde sıralanır.
Örnek: 2 erkek,3 kız öğrenci yatay bir sıra boyunca kaç değişik şekilde sıralanabilir?
(2+3)!=5!=1.2.3.4.5=120 değişik şeklide sıralanır.
Dönel (dairesel) permütasyon: n tane farklı eleman dairesel bir şeklin etrafına (n-1)! kadar değişik şekilde sıralanabilir.
Örnek: 5 kişi yuvarlak bir masa etrafında kaç değişik şekilde oturabilir?
(5-1)!=4!=1.2.3.4=24 değişik şekilde oturabilir.
Bu yazı 1 kere okundu...
AYRIK OLAN VE AYRIK OLMAYAN OLAYLAR
Merhaba sevgili öğrenciler. Bu sayfada ayrık olan ve olmayan olayları inceleyeceğiz.
A ve B gibi iki olay aynı anda gerçekleşebiliyorsa bu olaylar ayrık olmayan olaylardır.Bu durumda iki olayın kesişimleri boş kümeden farklıdır.
O(AUB)= O(A) + O(B) – O(A n B)
Örnek: Atılan bir zarın üst yüzeyine gelecek sayıların 3′ten büyük veya çift gelme olasılığını bulunuz?
E={1,2,3,4,5,6}
A={4,5,6}
B={2,4,6}
A n B={4,6}
O(AUB)= O(A) + O(B) – O(A n B)
O(AUB)= 3/6 + 3/6 – 2/6 = 4/6 = 2/3
A ve B gibi iki olay aynı anda gerçekleşemiyorsa bu olaylar ayrık olaylardır.Bu durumda iki olayın kesişimleri boş kümedir.
O(AUB)= O(A) + O(B)
Örnek: Bir kutuda 1′den 10′a kadar numaralandırılmış 10 kart vardır.Kutudan rastgele seçilen bir kartın 2 veya 8 numaralı kart olması olasılığı kaçtır?
O(AUB)= O(A) + O(B)
Bu yazı 6 kere okundu...
OLASILIĞIN GEOMETRİYLE İLİŞKİSİ
Olasılık hesaplama formülü aşağıdaki gibidir.
Bir olayın olma olasılığı=(istenen olayın toplam alanı)/(tüm alanların toplamı)
Olasılık ve alan konusunda öğrencilerin geometri bilgilerini kullanarak olasılık hesabı yapabilmeleri amaçlanmıştır.
Büyük alana fırlatılan bir taş ile küçük alana fırlatılan bir taşın olasılıklarını düşünürsek;
taşın büyük alana düşme olasılığı daha büyük,küçük alan düşme olasılığı daha küçüktür.
Daha somut ifade edecek olursak bir torbaya 10 tane yeşil 5 tane kırmızı top atarsak ve rastgele bir top seçersek bu topun yeşil rekli çıkma olasılığı daha yüksektir.
Bu yazı 4 kere okundu...
AYNA VE DÖNME SİMETRİSİ
Sevgili öğrenciler bu sayfamızda simetri prensibini ve ayna dönme simetrisi konusunu işleyeceğiz…
Ayna Simetrisi
Ayna simetrisi olarak adlandırılan yansıma, doğruya göre simetridir.Bir şeklin kendisi ile yansıması eştir.Bir yansımada şeklin biçimi ve boyutu değişmez, sadece şeklin yönü ters çevrilir ve yeri değişir.Ambulans ve itfaiye araçlarının önündeki yazıların ters yazılması buna güzel bir örnektir.Aynadan yansıması bu yazıların düz okunmasını sağlar.
Simetri, verilen bir şeklin katlama çizgisine göre veya doğruya göre katlandığında aynısının diğer tarafa eşit mesafede çıkmasıdır.Bu katlama çizgisinden katladığında iki şekil birbirinin üstüne tam olarak yapışır.Yada verilen şeklin, simetri aynasında yansıtıldığında aynadaki görüntüsü şeklin aynısı olur, işte bu görüntüye simetri denir.
Katlama çizgisine simetri ekseni denir. Simetri ekseni ayna simetrisinde vardır.Kare, dikdörtgen, eşkenar üçgen, daire bunların simetri eksenleri vardır ve bu şekilleri tam ortadan ikiye ayırır.
Dönme Simetrisi
Bir şekil,bir nokta etrafında döndürüldüğünde o nokta dönme hareketinin merkezi olur.Döndürülen şeklin biçim ve boyutu değişmez, ancak şeklin duruşu ve yeri değişir.Saatteki akrep ve yelkovanın bağlı olduğu pim,salıncaktaki oturağı taşıyan iplerin veya zincirlerin bağlandığı yer dönme hareketinin merkezidir.Yelkovanın ilk durumu ile son durumunun oluşturduğu açıya dönme açısı denir.
Çeyrek dönme 90 derecelik dönmedir.Yarım dönme 180 derecelik dönmedir.Tam dönme 360 derecelik dönmedir.180 derecelik dönmeye merkezil dönme veya noktaya göre simetride denir.
Bir şekil kendi merkezi etrafında 360 dereceden küçük açı ile döndürüldüğünde en az bir kez kendisi ile çakışıyorsa bu şekil dönme simetrisine sahiptir.
Dönme simetrisinde verilen geometrik şeklin en küçük dönme simetri açısı bulunurken:
Verilen şeklin tam ortasına dönme merkezi işaretlenir. Verilen geometrik şeklin kaç eşit kenarı varsa yada kaç tane birbirine eşit farklı yönlü yüzü varsa dönme simetri sayısı budur. Ve 360 derece bu kenar sayısına bölünerek en küçük dönme simetri açısı bulunur. Yani dönme simetri sayısı kenar sayısına eşit olacak. Ama kenarları birbirine eşit düzgün çokgen tarzındaki şekiller için.
Örneğin;
Karenin en küçük dönme simetri açısı 360:4=90 derece olduğundan dönme simetrisi vardır.
Düzgün altıgenin en küçük dönme simetri açısı 360:6=60 derece olduğundan dönme simetrisi vardır.
Eşkenar üçgenin en küçük dönme simetri açısı 360:3=120 derece olduğundan dönme simetrisi vardır.
Buradan anlaşıldığı üzere düzgün çokgenler yani eşkenar üçgen,kare,düzgün altıgen,düzgün beşgen dönme simetrisine sahiptir ve en küçük dönme simetri açısı vardır.
Bu yazı 3 kere okundu...
MOTİFLE KAPLAMA
Motifle kaplama demek; kareli,noktalı veya izometrik kağıtlara boşluk kalmadan süsleme örnekleri yapmaktır.Örüntüyü inşa ederken veya süsleme yaparken yansıma,öteleme ve dönme hareketleri kullanılır.Süsleme yaparken boşluk kalmaması gerekir.
Süslemenin yapılabilmesi için her bir köşede oluşan açıların ölçülerinin toplamı 360 derece olmalıdır.Bir süslemede,her köşedeki düzgün çokgensel bölgelerin kenar sayıları süslemenin kodunu verir.
Süslemenin Kodu Nasıl Bulunur?
Bir süslemede, her köşedeki düzgün çokgensel bölgelerin kenar sayıları süslemenin kodunu verir. Burada verilen süslemeli şeklin ortadaki köşelerinden birini belirleriz ve bu köşe etrafında oluşan şekillerin kenar sayısı ve kaç tane olduğuna göre kod yazarız.
Karelerden oluşan bir süslemede kod 4,4,4,4 (burada köşe etrafında 4 kenarlı 4 tane kare var)
Eşkenar üçgenlerden oluşan bir süslemede kod 3,3,3,3,3,3 (burada köşe etrafında 3 kenarlı 6 tane üçgen var)
Düzgün altıgenlerden oluşan bir süslemede kod 6,6,6 (burada köşe etrafında 6 kenarlı 3 tane altıgen var)
Bu yazı 7 kere okundu...
ÜSLÜ NİCELİKLER
Bir sayının kendisi ile tekrarlı çarpımı, o sayının kuvveti olarak adlandırılır. 2×2 2′nin karesi şeklinde ifade edilir 22 şeklinde gösterilir. Bu tekrarlı çarpımın sonucunu bulmaya kuvvet alma işlemi denir.Kuvvet kelimesi ile üs kelimesi eşdeğerdir.
a.a.a.a.a…..a=an (n tane a’nın çarpımı) (a=taban,n=üs veya kuvvet)
3x3x3x3x3=35 (5 tane 3’ün yan yana yazılıp çarpılmasıdır.)
2x2x2x2x2x2x2x2x2=29
(-4)x(-4)=(-4)2
Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1’e eşittir.Sıfırın sıfırıncı kuvveti tanımsızdır. 00=tanımsız
n0=1
(-1)0=1
70=1
Sıfırın sıfırdan farklı bütün kuvvetleri 0’a eşittir.
01=0
05=0
0109=0
10’un pozitif kuvvetleri:
101=10
102=100
103=1000
104=10000
Negatif bir tam sayının tek kuvvetleri daima negatif sayıdır.
(-2)1=-2
(-2)3=-8
(-2)5=-32
Negatif bir tam sayının çift kuvvetleri daima pozitif sayıdır.
(-2)2=4
(-2)4=16
(-2)6=64
Sayı Örüntüleri
Cebirsel ifadede bir sayı ile bir değişken veya birden fazla değişkene terim, terimlerin sayısal çarpanına ise kat sayı denir.
Verilen bir örüntüde, harfli ifadenin yerine doğal sayı konularak istenilen adım sayısı bulunur.
Örnek: 4,7,10,13,………devam eden örüntünün kuralını ve 20 adımdaki sayıyı bulalım.
Örüntünün kuralı=n.2+(n+1)
20 adımdaki sayı=20.2+(20+1)=40+21=61
Bu yazı 5 kere okundu...
Her sınavda muhakkak birkaç soru gelir bu konudan. Hatta günlük hayatta da farkında olmadan bu konuyla ilişkili yaşantılarımız olmuştur. Bu hesaplamaların nasıl yapıldığını merak ettiniz mi? Gelin öğrenelim…
ALIŞVERİŞTEKİ YÜZDE HESAPLARI
Yüzde Hesapları
%A=A/100
Bir sayının yüzde A’sı=x.(A/100)
Bir sayının yüzde A fazlası=x+x.(A/100)
Bir sayının yüzde A eksiği=x-x.(A/100)
Bir sayının yüzde A’sı ile yüzde B’sinin toplamı =x.(A/100)+ x.(B/100)
Bir sayının yüzde A’sı ile yüzde B’sinin farkı =x.(A/100)- x.(B/100)
Örnek: Hangi sayının yüzde 20’si 0,08’dir?
Sayı x olsun.
Sayının yüzde 20’si = (20/100).x
(20/100).x=0,08
(20x/100)=(8/100)
20x=8 her iki tarafı 20’ye bölersek x=0,4 çıkar.
Örnek: 60 sayısının yüzde 5’i kaçtır?
60.(5/100) deriz.
(60.5)/100=300/100=3 olur.
KDV Hesapları
KDV devletin aldığı katma değer vergisidir.
Bir ürünün KDV’li satış fiyatı=(ürünün fiyatı)+[(ürünün fiyatı).(KDV oranı)]
Örnek: 100 liralık bir montun yüzde 8’i KDV’si vardır Bu mont kaç liraya alınır?
KDV=100.(8/100)=8 TL KDV vardır.
KDV’li satış fiyatı=100+8=108 TL alırız.
Örnek: Bir kazağın etiket fiyatında yüzde 8 KDV dahil 216 TL yazıyor.Bu kazağı alırsak kaç lira KDV öderiz?
216=x+x.(8/100)
216=x+8x/100
216=108x/100
21600=108x buradan her iki taraf 108’e bölünürse 200 TL kazağın fiyatı bulunur.
216-200=16 TL KDV miktarıdır.
Kar-Zarar Hesapları
Alış (maliyet) fiyatı= A
Satış (etiket) fiyatı= S
Kar oranı=K
Zarar oranı=Z
İndirim oranı=İ
1) Yüzde x kar ile satış
Satış fiyatı=Alış fiyatı + Kar
S=A+K ise S=A+[(A.x)/100]
2) Yüzde x zarar ile satış
Satış fiyatı=Alış fiyatı – Zarar
S=A-Z ise S=A-[(A.x)/100]
3) Yüzde x indirim ile satış
Satış fiyatı=Alış fiyatı -İndirim
S=A-İ ise S=A-[(A.x)/100]
Örnek: 120 TL’lik bir takım elbise yüzde 20 kar ile ne kadara satılır?
Önce kar oranını bulmalıyız.
120.(20/100) yani (120.20)/100 buradanda 2400/100
Kar=24 TL olur.
Satış fiyatı=Alış fiyatı + Kar
S=120+24=144 TL karlı satış
Örnek: 250 TL’lik bir cep telefonu yüzde 10 zarar ile ne kadara satılır?
Önce zarar oranını bulmalıyız.
250.(10/100) yani (250.10)/100 buradanda 2500/100
Zarar=25 TL olur.
Satış fiyatı=Alış fiyatı – Zarar
S=250-25=225 TL zararlı satış
Örnek: 600 TL’lik bir cep telefonu yüzde 20 indirim ile ne kadara satılır?
Önce indirim oranını bulmalıyız.
600.(20/100) yani (600.20)/100 buradanda 12000/100
İndirim=120 TL olur.
Satış fiyatı=Alış fiyatı – İndirim
S=600-120=480 TL indirimli satış
Faiz Hesapları
F: alınan faiz
n: faiz yüzdesi
A: bankaya yatırılan ana para (kapital)
t: zaman
Yıllık faiz=(A.n.t)/100
Aylık faiz=(A.n.t)/1200
Günlük faiz=(A.n.t)/36000
Örnek: 24 TL yüzde kaç faizle 10 aylığına bankaya yatırılırsa 12 TL faiz getirir?
F=12 TL
A=24 TL
t=10 ay
n=?
F==(A.n.t)/1200
12=(24.n.10)/1200 (1200 karşıya çarpım olarak geçer)
14400=240n buradan her iki tarafı 240’a bölersek
n=60 çıkar.yani yüzde 60’tır.
Örnek: 1000 TL yüzde 3 faizle 3 yıllığına bankaya yatırılıyor.3 yıl sonra bankadan paranın hepsi çekiliyor.Ne kadar para çekilmiştir?
A=1000 TL
t=3 yıl
n=3
F=?
F==(A.n.t)/100
F=(1000.3.3)/100
F=9000/100 her iki taraf 100’e bölünürse
F=90 TL faiz getirir.
Bankadan 1000+90=1090 TL çekilir.
Bu yazı 2 kere okundu...
DAİRESEL SİLİNDİR
Dairesel silindir, birbirine eş ve paralel iki daireden oluşan tabanlara ve yan yüze sahiptir.Konserve tenekesi örnek verilebilir. Dairesel silindirde, tabanların merkezlerini birleştiren doğruya eksen denir.Tabanların karşılıklı iki noktasını birleştiren ve eksene paralel olan doğrular ise silindirin ana doğruları veya doğrularıdır. Aşağıdaki resimde silindir görmektesiniz.
Dairesel silindirin ekseni tabanlara dik ise dik dairesel silindir, tabanlara dik değilse eğik dairesel silindir denir.Dik dairesel silindirde ana doğrular taban düzlemlerine diktir.
Tabanlardan birinin bir noktasından, diğer tabanın düzlemine inilen dikme silindirin yüksekliğidir.Taban yarıçapı da silindirin yarıçapıdır.
Silindirin Alanı
Dik dairesel silindirin yüzey alanı, yanal yüz ile alt ve üst taban alanlarının toplamına eşittir.
A = yanal alan + 2.taban alan
A = 2.π.r.h + 2.π.r.r
(π=3,14 alırız, r taban yarıçapı, h yükseklik)
Örnek: Taban yarıçapı 1cm ve yüksekliği 4cm olan silindirin alanını bulunuz.(π=3)
A= 2.3.1.4+2.3.1.1= 24+6= 30 cm2
Silindirin Hacmi
Yarıçapı r, yüksekliği h olan bir dik dairesel silindirin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.
H = (taban alan).(yükseklik)
H = π.r.r.h
(π=3,14 alırız, r taban yarıçapı, h yükseklik)
Örnek: Taban yarıçapı 4cm ve yüksekliği 5cm olan silindirin hacmini bulunuz.(π=3)
H= 3.4.4.5= 240 cm3
Bu yazı 3 kere okundu...
YAPILARIN YÜZLERİ
Bir bina yapılırken önce binanın farklı yönlerden görünümleri mimari teknikler kullanılarak çizilir.Daha sonra binanın çizimine uygun gerçek boyutunun bir ölçek oranında küçültülmüş maketi yapılır.
Yapıların modellerini oluşturmak için yönler belirtilerek farklı görünümleri verilmelidir. Farklı cephelerin görünümlerini vermek açısından gerekli bir uygulamadır.
Yapıların yüzlerini çizerken önden,arkadan,sağdan,soldan,üstten ve alttan görünümlerine bakarız.
Görünümler kareli kağıda ama yapımız izometrik kağıda çizilir.
Bu yazı 5 kere okundu...
